SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

A.      Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Bentuk Umum :

ax + by = c … (1)

px + qy = r … (2)

Dengan a, b, c, p, q, r € R dan a, b, p, q ≠ 0, sedangkan x,y suatu variabel.

Untuk memecahkan permasalahan suatu SPLDV dapat dilakukan dengan metode substitusi atau metode eliminasi.

B.       Metode Penyelesaian SPLDV

1.      Metode Substitusi

Substitusi dapat diartikan dengan mengganti atau menempatkan suatu variabel dengan variabel lainnya, dengan syarat variabel yang akan digantikan harus berkoefisien 1 (satu).

Adapun langkah – langkahnya sebagai berikut :

a.         Dari variabel – variabel yang ada, pilih yang koefisiennya 1

b.        Ubah variabel berkoefisien 1 itu ke dalam bentuk : y = … atau x = …

c.         Ganti variabel y atau x pada persamaan lain dengan isi (bagian yang berada disebelah kanan sama dengan) dari variabel y = … atau x = … tadi. Lalu selesaiakan persamaan hingga didapat nilai salah satu variabel.

d.        Masukkan nilai variabel yang sudah ditemukan ke dalam persamaan y = … atau x = … untuk memperoleh nilai dari variabel lainnya.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan : 5x – 2y = 1 dan 2x + y = 4

Jawab :

Langkah – langkah penyelesaian:

a.       Variabel berkoefisien 1, yakni variabel y pada persamaan y pada persamaan: 2x + y = 4

Ubah persamaan tersebut menjadi y = …, maka diperoleh:

Ø  2x + y = 4

Ø  y = 4 – 2x ………. (*)

b.      Ganti variabel y pada persamaan kedua (5x – 2y = 1) dengan persamaan (*), didapat

Ø  5x -2(4 – 2x) = 1

Ø  5x – 8 + 4x = 1

Ø  9x – 8 = 1

Ø  9x = 1 + 8

Ø  9x = 9

Ø  x = 1

c.       Masukkan nilai x = 1 ke persamaan (*), maka didapat :

Ø y = 4 – 2(1)

Ø y = 4 – 2

Ø y = 2, Jadi himpunan penyelesaiannya = {1,2}

2.      Metode Eliminasi

Metode ini dilakukan dengan cara mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel yang ada dalam SPLDV, untuk mendapatkan nilai dari variabel lain (yang tidak dihilangkan).

Adapun langkah – langkahnya, sebagai berikut :

a.         Pilih variabel yang akan dieliminasi, misal x. Kemudian samakan koefisien variabel di kedua persamaan

b.        Hilangkan kedua variabel x (yang sudah sama koefisiennya) dengan menjumlah/mengurangkan kedua persamaan, lalu selesaikan hingga dapat nilai dari variabel yang tersisa yakni y.

c.         Lalu, substitusikan nilai variabel yang ditemukan tadi, yaitu y, ke salah satu persamaan sehingga akan ditemukan nilai variabel yang lain atau yang dieliminasi sebelumnya (x).

Contoh :

Himpunan penyelesaian dari :

2x + 3y = 18 dan 3x – 2y = 1, adalah …

            Jawab :

            Langkah – langkah penyelesaiannya adalah :

a.       Kita pilih variabel yang akan dieliminasi adalah x, maka koefisien x di kedua persamaan itu harus disamakan.

Ø  2x + 3y = 18 ….. dikali 3

Ø  3x – 2y = 1 ……. dikali 2

Didapat

Ø  6x + 9y = 54 …. (*)

Ø  6x – 4y = 2 ….. (**)

b.      Karena koefisien dari kedua variabel x di atas sama – sama positif maka untuk menghilangkannya dilakukan pengurangan pada (*) dan (**), maka didapat :

Ø  6x + 9y = 54

Ø  6x – 4y = 2

-------------------------- -

          13y = 52

          y = 4

c.       Masukkan (substitusikan) nilai y = 4 ke salah satu persamaan di awal :

Ø  2x + 3(4) = 18

Ø  2x + 12 = 18

Ø  2x = 18 – 12

Ø  2x = 6

Ø  x = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya = {3,4}

C.      Menyelesaikan SPLDV dalam Bentuk Cerita

Beberapa persoalan kehidupan sehari – hari ternyata dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan SPLDV. Persoalan tersebut biasanya tersaji dalam bentuk cerita. Sebelum melakukan perhitungan maka soal cerita yang tersedia harus diubah dahulu menjadi kalimat matematika (model matematika)  yang membentuk SPLDV. Lihat contoh nomor 3 pada pembahasan “Contoh Soal”

D.      Sistem Persamaan Non-Linier Dua Variabel (SPNLDV)

SPNLDV adalah suatu sistem persamaan yang kedua jenis persamaannya tidak linier. Diantara tidak linier bisa berupa pecahan aljabar dan persamaan kuadrat.

Untuk menyelesaikan SPNLDV dapat digunakan metode – metode penyelesaian SPLDV (substitusi atau eliminasi) dengan syarat; mengubah dulu bentuk variabel non-linear menjadi bentuk variabel linear. Caranya dengan melakukan pemisalan. Lihat contoh nomor 4 dan 5 pada pembahasan “Contoh Soal”.

E.       Contoh Soal

1.      Diketahui sistem persamaan :

2x – 3y = 18 dan x + 4y = -2. Maka nilai dari x + y adalah ..

Jawab :

Diketahui :

(1)   … 2x – 3y = 18

(2)   … x + 4y = -2

Penyelesaian : Metode substitusi

Ubah persamaan (2), diperoleh :

Ø  x + 4y = -2

Ø  x = - 4 – 2 … (*)

Masukkan persamaan (*) ke (2), didapat :

Ø  2(-4y – 2 ) – 3y = 18

Ø  - 8y – 4 – 3y = 18

Ø  - 11y = 18 + 4

Ø  - 11y = 22

Ø  y = -2

Masukkan nilai y = -2 ke persamaan (*), maka diperoleh :

Ø  x = - 4 (-2) – 2

Ø  x = 8 – 2

Ø  x = 6

Maka nilai dari :

Ø  x + y = 6 + ( - 2 ) = 6 – 2 = 4

2.      UN 2010
Jika x dan y penyelesaian dari persamaan 3x – 4y = 17 dan 2x + 5y = - 4, nilai  4x – 3y adalah ...

a.       18

b.      6

c.       – 6

d.      – 18

Jawab :

Penyelesaian : Metode eliminasi

3x – 4y = 17 X 2 6x – 8y = 34

2x + 5y = - 4 X 3 6x + 15y = -12

----------------------------------------- -

-23y = 46

y = -2

Masukkan nilai y = -2 ke salah satu persamaan awal, didapat :

Ø  3x – 4 ( - 2) = 17

Ø  3x + 8 = 17

Ø  3x = 9

Ø  x = 3

Maka nilai dari 4x – 3y adalah

Ø  4(3) – 3 (-2) = 12 + 6 = 18

3.      Tika pergi ke pasar hendak membeli minyak sayur dan gula pasir. Jika harga yang dibayar Tika untuk 3 bungkus minyak sayur dan 2 bungkus gula pasir adalah Rp 15.500,00. Sedangkan pada minggu yang lalu, ketika Tika membeli 4 bungkus minyak sayur dan 3 bungkus gula pasir dikenakan harga Rp 22.000,00. Jika minggu depan Tika akan membeli 2 bungkus minyak sayur dan 3 bungkus gula pasir, maka jumlah harga yang harus dibayar oleh Tika adalah …

Jawab :

Pembuatan model matematika :

Misal : x = sebungkus minyak sayur, dan y = sebungkus gula pasir, maka dari kasus Tika di atas diperoleh persamaan :

(1)   … 3x + 2y = 15.500

(2)   … 4x + 3y = 22.000

Sedangkan yang ditanyakan adalah nilai (harga) dari 2x + 3y = … ?

            Penyelesaian : Metode Eliminasi

            3x + 2y = 15.500 X 3 : 9x + 6y = 46.500

            4x + 3y = 22.000 X 2 : 8x + 6y = 44.000

                                    ------------------------------- -

                                                            x = 2.500

Masukkan nilai x = 2.500 ke persamaan (2), didapat :

Ø  4(2.500) + 3y       = 22.000

Ø  10.000 + 3y          = 22.000

Ø  3y                         = 12.000

Ø  y                           = 4.000

Untuk x = 2.500 dan y = 4.000, maka nilai dari 2x + 3y adalah

Ø  2(2.500) + 3(4.000) = 17.000

Jadi, harga yang harus dibayar Tika untuk pembelian 2 bungkus minyak sayur dan 3 bungkus gula pasir adalah Rp 17.000,00

4.      Himpunan penyelesaian persamaan :

1/x + 2/y = 2 dan 3/x – 4/y = 1

Jawab :

Diketahui SPNLDV

1/x + 2/y = 2 … (1)

3/x – 4/y = 1 … (2)

Permisahan :

Misal; p = 1/x dan q = 1/y, maka persamaan diatas menjadi SPLDV
p + 2q = 2 … (3)

3p – 4q = 1 … (4)

Penyelesaian : Metode Substitusi

Ubah persamaan (2) :

Ø  p + 2q = 2

Ø  p = 2 – 2q …. (5)

Masukkan persamaan (5) ke persamaan (4)

Ø  3(2 – 2q) – 4q    = 1

Ø  6 – 6q – 4q         = 1

Ø  - 10q = -5

Ø  q = 1/2

Masukkan nilai q = 1/2 ke persamaan (5)

Ø  p = 2 – 2(1/2)

Ø  p = 2 – 1

Ø  p = 1

Mencari nilai x dan y :

Dari pemisalan p = 1/x dan nilai p = 1, maka diperoleh :

1/x = 1

x = 1

Dari pemisalan q = 1/y dan nilai q = 1/2 , maka diperoleh

1/y = ½

y = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya : {1,2}

5.      Himpunan penyelesaian persamaan :

x^2 + y^2 = 13 dan 3x^2 – y^2 = 3 adalah

Jawab :

Diketahui SPNLDV

x^2 + y^2 = 13 … (1)

3x^2 – y^2 = 3 … (2)

Pemisalan :

Misal : x^2 = a dan y^2 = b, maka persamaan diatas menjadi SPLDV

a + b = 13 … (3)

3a – b = 3 … (4)

Penyelesaian : Metode Eliminasi

a + b = 13

3a – b = 3

-------------- +

4a = 16

a = 4

            Masukkan nilai a = 4 kepersamaan (3)

a + b = 13

4 + b = 13

b = 9

Mencari nilai x dan y :

dari pemisalan x^2 = a dan nilai x = 4, maka diperoleh :

x^2 = a

x^2 = 4

x = √4

x = ±2

Dari pemisalan y^2 = b dan nilai y = 9, maka diperoleh :

y^2 = b

y^2 = 9

y = √9

y = ±3

Jadi, Himpunan penyelesaian = {±2, ±3}