A.
Sistem
Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
Bentuk
Umum :
ax
+ by = c … (1)
px
+ qy = r … (2)
Dengan
a, b, c, p, q, r € R dan a, b, p, q ≠ 0, sedangkan x,y suatu variabel.
Untuk
memecahkan permasalahan suatu SPLDV dapat dilakukan dengan metode substitusi
atau metode eliminasi.
B.
Metode
Penyelesaian SPLDV
1. Metode
Substitusi
Substitusi
dapat
diartikan dengan mengganti atau menempatkan suatu variabel dengan variabel
lainnya, dengan syarat variabel yang akan digantikan harus berkoefisien 1
(satu).
Adapun langkah – langkahnya sebagai
berikut :
a.
Dari variabel – variabel yang ada, pilih
yang koefisiennya 1
b.
Ubah variabel berkoefisien 1 itu ke
dalam bentuk : y = … atau x = …
c.
Ganti variabel y atau x pada persamaan
lain dengan isi (bagian yang berada
disebelah kanan sama dengan) dari variabel y = … atau x = … tadi. Lalu
selesaiakan persamaan hingga didapat nilai salah satu variabel.
d.
Masukkan nilai variabel yang sudah
ditemukan ke dalam persamaan y = … atau x = … untuk memperoleh nilai dari
variabel lainnya.
Contoh :
Tentukan himpunan
penyelesaian dari persamaan : 5x – 2y = 1 dan 2x + y = 4
Jawab :
Langkah – langkah
penyelesaian:
a. Variabel
berkoefisien 1, yakni variabel y pada persamaan y pada persamaan: 2x + y = 4
Ubah
persamaan tersebut menjadi y = …, maka diperoleh:
Ø 2x
+ y = 4
Ø y
= 4 – 2x ………. (*)
b. Ganti
variabel y pada persamaan kedua (5x – 2y = 1) dengan persamaan (*), didapat
Ø 5x
-2(4 – 2x) = 1
Ø 5x
– 8 + 4x = 1
Ø 9x
– 8 = 1
Ø 9x
= 1 + 8
Ø 9x
= 9
Ø x
= 1
c. Masukkan
nilai x = 1 ke persamaan (*), maka didapat :
Ø y
= 4 – 2(1)
Ø y
= 4 – 2
Ø y
= 2, Jadi himpunan penyelesaiannya = {1,2}
2. Metode
Eliminasi
Metode ini dilakukan dengan cara
mengeliminasi atau menghilangkan salah satu variabel yang ada dalam SPLDV,
untuk mendapatkan nilai dari variabel lain (yang tidak dihilangkan).
Adapun langkah – langkahnya, sebagai
berikut :
a.
Pilih variabel yang akan dieliminasi,
misal x. Kemudian samakan koefisien variabel di kedua persamaan
b.
Hilangkan kedua variabel x (yang sudah sama koefisiennya) dengan
menjumlah/mengurangkan kedua persamaan, lalu selesaikan hingga dapat nilai dari
variabel yang tersisa yakni y.
c.
Lalu, substitusikan nilai variabel yang
ditemukan tadi, yaitu y, ke salah satu persamaan sehingga akan ditemukan nilai
variabel yang lain atau yang dieliminasi sebelumnya (x).
Contoh :
Himpunan penyelesaian
dari :
2x + 3y = 18 dan 3x –
2y = 1, adalah …
Jawab
:
Langkah
– langkah penyelesaiannya adalah :
a. Kita
pilih variabel yang akan dieliminasi adalah x, maka koefisien x di kedua
persamaan itu harus disamakan.
Ø 2x
+ 3y = 18 ….. dikali 3
Ø 3x
– 2y = 1 ……. dikali 2
Didapat
Ø 6x
+ 9y = 54 …. (*)
Ø 6x
– 4y = 2 ….. (**)
b. Karena
koefisien dari kedua variabel x di atas sama – sama positif maka untuk
menghilangkannya dilakukan pengurangan pada (*) dan (**), maka didapat :
Ø 6x
+ 9y = 54
Ø 6x
– 4y = 2
--------------------------
-
13y = 52
y = 4
c. Masukkan
(substitusikan) nilai y = 4 ke salah satu persamaan di awal :
Ø 2x
+ 3(4) = 18
Ø 2x
+ 12 = 18
Ø 2x
= 18 – 12
Ø 2x
= 6
Ø x
= 3
Jadi,
himpunan penyelesaiannya = {3,4}
C.
Menyelesaikan
SPLDV dalam Bentuk Cerita
Beberapa persoalan kehidupan sehari –
hari ternyata dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan SPLDV.
Persoalan tersebut biasanya tersaji dalam bentuk cerita. Sebelum melakukan
perhitungan maka soal cerita yang tersedia harus diubah dahulu menjadi kalimat
matematika (model matematika) yang membentuk SPLDV. Lihat contoh nomor 3
pada pembahasan “Contoh Soal”
D.
Sistem
Persamaan Non-Linier Dua Variabel (SPNLDV)
SPNLDV adalah suatu sistem persamaan
yang kedua jenis persamaannya tidak linier. Diantara tidak linier bisa berupa
pecahan aljabar dan persamaan kuadrat.
Untuk menyelesaikan SPNLDV dapat
digunakan metode – metode penyelesaian SPLDV (substitusi atau eliminasi) dengan
syarat; mengubah dulu bentuk variabel non-linear menjadi bentuk variabel
linear. Caranya dengan melakukan pemisalan. Lihat contoh nomor 4 dan 5 pada
pembahasan “Contoh Soal”.
E.
Contoh
Soal
1. Diketahui
sistem persamaan :
2x
– 3y = 18 dan x + 4y = -2. Maka nilai dari x + y adalah ..
Jawab
:
Diketahui
:
(1) …
2x – 3y = 18
(2) …
x + 4y = -2
Penyelesaian : Metode
substitusi
Ubah persamaan (2),
diperoleh :
Ø x
+ 4y = -2
Ø x
= - 4 – 2 … (*)
Masukkan persamaan (*)
ke (2), didapat :
Ø 2(-4y
– 2 ) – 3y = 18
Ø -
8y – 4 – 3y = 18
Ø -
11y = 18 + 4
Ø -
11y = 22
Ø y
= -2
Masukkan nilai y = -2
ke persamaan (*), maka diperoleh :
Ø x
= - 4 (-2) – 2
Ø x
= 8 – 2
Ø x
= 6
Maka nilai dari :
Ø x
+ y = 6 + ( - 2 ) = 6 – 2 = 4
2. UN
2010
Jika x dan y penyelesaian dari persamaan 3x – 4y = 17 dan 2x + 5y = - 4,
nilai 4x – 3y adalah ...
a. 18
b. 6
c. –
6
d. –
18
Jawab :
Penyelesaian : Metode
eliminasi
3x – 4y = 17 X 2 6x –
8y = 34
2x + 5y = - 4 X 3 6x +
15y = -12
-----------------------------------------
-
-23y
= 46
y
= -2
Masukkan
nilai y = -2 ke salah satu persamaan awal, didapat :
Ø 3x
– 4 ( - 2) = 17
Ø 3x
+ 8 = 17
Ø 3x
= 9
Ø x
= 3
Maka nilai dari 4x – 3y
adalah
Ø 4(3)
– 3 (-2) = 12 + 6 = 18
3. Tika
pergi ke pasar hendak membeli minyak sayur dan gula pasir. Jika harga yang
dibayar Tika untuk 3 bungkus minyak sayur dan 2 bungkus gula pasir adalah Rp
15.500,00. Sedangkan pada minggu yang lalu, ketika Tika membeli 4 bungkus
minyak sayur dan 3 bungkus gula pasir dikenakan harga Rp 22.000,00. Jika minggu
depan Tika akan membeli 2 bungkus minyak sayur dan 3 bungkus gula pasir, maka
jumlah harga yang harus dibayar oleh Tika adalah …
Jawab :
Pembuatan model
matematika :
Misal : x = sebungkus
minyak sayur, dan y = sebungkus gula pasir, maka dari kasus Tika di atas
diperoleh persamaan :
(1) …
3x + 2y = 15.500
(2) …
4x + 3y = 22.000
Sedangkan yang
ditanyakan adalah nilai (harga) dari 2x + 3y = … ?
Penyelesaian
: Metode Eliminasi
3x
+ 2y = 15.500 X 3 : 9x + 6y = 46.500
4x
+ 3y = 22.000 X 2 : 8x + 6y = 44.000
-------------------------------
-
x
= 2.500
Masukkan nilai x =
2.500 ke persamaan (2), didapat :
Ø 4(2.500)
+ 3y = 22.000
Ø 10.000
+ 3y = 22.000
Ø 3y = 12.000
Ø y = 4.000
Untuk x = 2.500 dan y =
4.000, maka nilai dari 2x + 3y adalah
Ø 2(2.500)
+ 3(4.000) = 17.000
Jadi, harga yang harus
dibayar Tika untuk pembelian 2 bungkus minyak sayur dan 3 bungkus gula pasir
adalah Rp 17.000,00
4. Himpunan
penyelesaian persamaan :
1/x
+ 2/y = 2 dan 3/x – 4/y = 1
Jawab
:
Diketahui
SPNLDV
1/x
+ 2/y = 2 … (1)
3/x
– 4/y = 1 … (2)
Permisahan
:
Misal;
p = 1/x dan q = 1/y, maka persamaan diatas menjadi SPLDV
p
+ 2q = 2 … (3)
3p
– 4q = 1 … (4)
Penyelesaian
: Metode Substitusi
Ubah
persamaan (2) :
Ø p
+ 2q = 2
Ø p
= 2 – 2q …. (5)
Masukkan persamaan (5)
ke persamaan (4)
Ø 3(2
– 2q) – 4q = 1
Ø 6
– 6q – 4q = 1
Ø -
10q = -5
Ø q
= 1/2
Masukkan nilai q = 1/2
ke persamaan (5)
Ø p
= 2 – 2(1/2)
Ø p
= 2 – 1
Ø p
= 1
Mencari nilai x dan y :
Dari pemisalan p = 1/x dan nilai p = 1, maka diperoleh :
1/x
= 1
x
= 1
Dari pemisalan q = 1/y
dan nilai q = 1/2 , maka diperoleh
1/y = ½
y = 2
Jadi, himpunan
penyelesaiannya : {1,2}
5. Himpunan
penyelesaian persamaan :
x^2
+ y^2 = 13 dan 3x^2 – y^2 = 3 adalah
Jawab
:
Diketahui
SPNLDV
x^2
+ y^2 = 13 … (1)
3x^2
– y^2 = 3 … (2)
Pemisalan
:
Misal
: x^2 = a dan y^2 = b, maka persamaan diatas menjadi SPLDV
a
+ b = 13 … (3)
3a
– b = 3 … (4)
Penyelesaian
: Metode Eliminasi
a
+ b = 13
3a
– b = 3
--------------
+
4a
= 16
a
= 4
Masukkan nilai
a = 4 kepersamaan (3)
a + b = 13
4 + b = 13
b = 9
Mencari nilai x dan y :
dari pemisalan x^2 = a
dan nilai x = 4, maka diperoleh :
x^2 = a
x^2 = 4
x = √4
x = ±2
Dari pemisalan y^2 = b
dan nilai y = 9, maka diperoleh :
y^2 = b
y^2 = 9
y = √9
y = ±3
Jadi, Himpunan
penyelesaian = {±2, ±3}
= 1.000.000, dan |
| = 500.000
![[image%255B4%255D.png]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqzj1HTuPZZcqoaUDbtw_H3n6VEXw-YhDePHBWuWHfE-7ac-JBIqbjHsJVdVZw6Yb53w1uqW-pQ1uVtlphnH4MSmyRfOVp6Sqqh-28H9ShcBxh4shG_vghJ66feT2osCR62rRXabRcl3Py/s1600/image%25255B4%25255D.png)
![[image%255B9%255D.png]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjM25miBwu1Apw_aoOiC3TIEWDOaQNO2adhYO2YByQOnHUk2J5vjLH1AluhLckgPGTdVvg7Jv4oDfVJT2TCEXLA1MzLwm2fVP4z-vMjcdBSRlKzWIJQ3C7anECGa6SHPTJN3oIXfseKQd1v/s1600/image%25255B9%25255D.png)
![[image%255B14%255D.png]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7R3BvYYElmadO7vIEkFDONsJsblV-D1WKHiogeMsv0VgayntMWXTPGsP2u4TB1q0WSWeCY1psL_uBUij7s95NWD-V3HfeDd_60FBUmzvPDe3Dw7kdIEf9-SKaEPnBbe_86pyF24nwNGkP/s1600/image%25255B14%25255D.png)
![[image%255B19%255D.png]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPtbwQOpcyq_PYO4FDJUwrFLTP33FKyLkNkd0XksCy89uAYv2R8GKDyPfzx15Ns6ESHIMfLp3qAXpt3ckakR-Tt85kDhV-9pIE_fIxSau2WgFoQkJiR9KDc8VEd12jK8SKjghnCOXfoM6P/s1600/image%25255B19%25255D.png)
![[image%255B24%255D.png]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhcAjSM2LgP_9lfwV_AyjY6OL7QczTsS_cqvLpH32Gc3qf_n3UuQjyoS30sNdercDla64gbIu7RxanS9MsIV6809ITS0WCHr_1u6XH89EvPUDIl-SO79MiqfWCgbNwDaTIlTmkTR3UhQc6R/s1600/image%25255B24%25255D.png)
![[image%255B29%255D.png]](https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhviVbp8xxYcd7aCsHkYMzkXCsCAuaOtFii8QLtFbXcsEk5CD6JD73sBvmdMhljSSShq1hCUiwBFHx5Bo-ntR7f84NFTFVHLxHdmW8YJowv87pCUq4_M83EVr0lFUl6ZaJ-LYCnD-ox0-Rz/s1600/image%25255B29%25255D.png)